参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？解决方案：设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）每家公司与其他______家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了______份合同；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为______；（Ⅲ）解这个方程，得______；（Ⅳ）检验：______；（Ⅴ）答：共有______家公司参加商品交易会．

【答案】分析：每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有 x（x-1）份．

解答：解：每家公司与其他（x-1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了

x（x-1）合同；

根据题意，列出相应方程为：x（x-1）=45；

解这个方程，得x1=10，x2=-9；

检验：x2=-9不合题意，舍去，只取x=10；

答：共有10家公司参加商品交易会．

故答案为：（Ⅰ）（x-1），x（x-1）；（Ⅱ）x（x-1）=45；（Ⅲ）x1=10，x2=-9；

（Ⅳ）x2=-9不合题意，舍去，只取x=10；（Ⅴ）10．

点评：本题考查的是一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解．

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