大学数学问题

求极限x→0lim[(tanx-x)/(xsin²x)]

解：x→0lim[(sinx-xcosx)/(xcosxsin²x)]=x→0lim[(xsinx)/(cosxsin²x-xsin³x+2xcos²xsinx)]

=x→0lim[x/(cosxsinx-xsin²x+2xcos²x)]=x→0lim[x/(xcosx-x³+2x-2xsin²x)]

=x→0lim[1/(cosx-x²+2-2sin²x)]=1/2

【原题可能有误！分母上的sinx²似乎应该是sin²x，不然求不出来】。

2。设y=ln(secx+tanx)，求y'，y''.

【(secx)'=secxtanx=sec²xsinx，secxcosx=1】

解：y'=(secxtanx+sec²x)/(secx+tanx)=(sec²xsinx+sec²x)/(secx+sinxsecx)=(secxsinx+secx)/(1+sinx)

y''=[(1+sinx)(sec²xsin²x+1+sec²xsinx)-(secxsinx+secx)(cosx)]/(1+sinx)²

=[(1+sinx)(sec²xsin²x+sec²xsinx+1)-(sinx+1)]/(1+sinx)²=(sec²xsin²x+sec²xsinx)/(1+sinx)

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