已知圆C：x 2 +y 2 -4x+3=0， （1）求过M（3，2）点的圆的切线方程； （2）直线l过点 N( 3 2 ， 1 2 ) 且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程； （3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C 1 ，直线 y=k(x- 5 2 ) 与曲线C 1 只有一个交点，求k的值．

（1）圆C：x 2 +y 2 -4x+3=0，即 （x-2） 2 +y 2 =1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．

当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0，

所以，圆心到切线的距离等于半径，即

=1，解得k=

，此时，切线为3x-4y-1=0．

综上可得，圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0…（3分）

（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x-y-1=0…（6分）

（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，

•

=0 ，∴化简得 (x-

) 2 + y 2 =

…（9分）

由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C 1 ： (x-

) 2 + y 2 =

（x≠1）…（10分）

因为直线 y=k(x-

) 与曲线C 1 只有一个交点，所以圆心到直线的距离d=

=

或k=0，

所以 k=±

或0 …（12分）

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